已知直线 $x_{0}x+y_{0}y=r^{2}$，其中 $x_{0}^{2}+y_{0}^{2}=r^{2}(r>0)$．求该直线被椭圆 $\dfrac{x^{2}}{a^{2}}+\dfrac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ 截得的弦长的最大值．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
联立直线与椭圆有 $\dfrac{x^{2}}{a^{2}}+\dfrac{\left(\dfrac{r^{2}}{y_{0}}-\dfrac{x_{0}}{y_{0}}x\right)^{2}}{b^{2}}=1$，即\[\left(x^{2}x_{0}^{2}+b^{2}y_{0}^{2}\right)x^{2}-2a^{2}r^{2}x_{0}x+a^{2}r^{4}-a^{2}b^{2}y_{0}^{2}=0,\]所以\[l=\sqrt{\dfrac{4a^{2}b^{2}\left(x_{0}^{2}+y_{0}^{2}\right)\left(a^{2}x_{0}^{2}+b^{2}y_{0}^{2}-r^{4}\right)}{\left(a^{2}x_{0}^{2}+b^{2}y_{0}^{2}\right)^{2}}}=2abr\sqrt{\dfrac{1}{\left(a^{2}x_{0}^{2}+b^{2}y_{0}^{2}-r^{4}\right)+\dfrac{r^{8}}{a^{2}x_{0}^{2}+b^{2}y_{0}^{2}-r^{4}}+2r^{4}}}.\]因为 $x_{0}^{2}+y_{0}^{2}=r^{2}$，所以 $b^{2}r^{2}\leqslant a^{2}r^{2}\leqslant a^{2}x_{0}^{2}+b^{2}y_{0}^{2}\leqslant a^{2}r^{2}$，所以\[r^{2}\left(b^{2}-r^{2}\right)\leqslant a^{2}x_{0}^{2}+b^{2}y_{0}^{2}-r^{4}\leqslant r^{2}\left(a^{2}-r^{2}\right).\]因此，讨论如下：
情形1 如果 $r^{4}\in\left[r^{2}\left(b^{2}-r^{2}\right),r^{2}\left(a^{2}-r^{2}\right)\right]$，即 $r^{2}\in\left[\dfrac{b^{2}}{2},\dfrac{a^{2}}{2}\right]$，则有 $l\leqslant \dfrac{ab}{r}$（当且仅当 $a^{2}x_{0}^{2}+b^{2}y_{0}^{2}=2r^{4}$ 时取得等号），此时\[a^{2}x_{0}^{2}+b^{2}y_{0}^{2}=2r^{4},\]解得 $x_{0}^{2}=\dfrac{2r^{4}-b^{2}r^{2}}{c^{2}}$，所以横截距为 $\dfrac{1}{x_{0}}=\pm\dfrac{c}{r\sqrt{2r^{2}-b^{2}}}$；
情形2 如果 $\dfrac{a^{2}}{2}<r^{2}<a^{2}$，则有 $l\leqslant 2b\cdot \sqrt{\dfrac{a^{2}-r^{2}}{a^{2}}}$；
情形3 如果 $r^{2}\leqslant a^{2}$，则不存在符合题意的弦；
情形4 如果 $0<r^{2}<\dfrac{b^{2}}{2}$，则有 $l\leqslant 2a\sqrt{\dfrac{b^{2}-r^{2}}{b^{2}}}$．
答案
解析
备注
