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关于数列 $\left\{\left(1+\dfrac 1n\right)^n\right\}$ 的判断正确的是 \((\qquad)\)
A: 对一切 $n\in\mathbb N^{\ast}$ 都有 $\left(1+\dfrac 1n\right)^n<\left(1+\dfrac{1}{n+1}\right)^{n+1}<3$
B: 对一切 $n\in\mathbb N^{\ast}$ 都有 $\left(1+\dfrac 1n\right)^n>\left(1+\dfrac{1}{n+1}\right)^{n+1}>2$
C: 对一切 $n\in\mathbb N^{\ast}$ 都有 $\left(1+\dfrac 1n\right)^n>\left(1+\dfrac{1}{n+1}\right)^{n+1}$，且存在 $n\in\mathbb N^{\ast}$ 使 $\left(1+\dfrac 1n\right)^n<3$
D: 对一切 $n\in\mathbb N^{\ast}$ 都有 $\left(1+\dfrac 1n\right)^n<\left(1+\dfrac{1}{n+1}\right)^{n+1}$，且存在 $n\in\mathbb N^{\ast}$ 使 $\left(1+\dfrac 1n\right)^n>3$
【难度】
【出处】
2017年清华大学THUSSAT附加学科测试数学部分（二测）
【标注】
  • 知识点
    >
    微积分初步
    >
    导数的运算
    >
    基本极限
  • 知识点
    >
    数列
    >
    数列的性质
    >
    数列的单调性
  • 知识点
    >
    数列
    >
    数列的性质
    >
    数列的有界性
【答案】
A
【解析】
由基本极限的相关性质可知数列 $\left\{\left(1+\dfrac 1n\right)^n\right\}$ 单调递增，且极限为 ${\rm e}$．
题目 答案 解析 备注
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