平面上 $4$ 个不同点 $P_1,P_2,P_3,P_4$，在每两个点之间连接线段得到 $6$ 条线段．记\[L=\max_{1\leqslant i<j\leqslant 4}|P_iP_j|,l=\min_{1\leqslant i<j\leqslant 4}|P_iP_j|,\]对任意三点不共线的所有四点组 $P_1,P_2,P_3,P_4$，把 $\dfrac{L}{l}$ 的取值集合记为 $P$，则 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
2017年清华大学THUSSAT附加学科测试数学部分（二测）
【标注】
【答案】
CD
【解析】
显然 $6$ 条线段不可能都相等，否则 $P_1$ 是正三角形 $P_2P_3P_4$ 的中心，且 $P_1P_2$ 等于该正三角形的边长，这不可能，于是\[\dfrac Ll>1,\]选项 AB 错误．
对于选项 CD，可以构造对应的实例，如图．
事实上可以证明 $\dfrac Ll\geqslant\sqrt 2$，且等号可以取得．
情形一 $P_1,P_2,P_3,P_4$ 的凸包为线段，不妨设该线段为 $P_1P_2$，则\[\dfrac{L}{l}\geqslant \max\left\{\dfrac{P_1P_2}{P_1P_3},\dfrac{P_1P_2}{P_2P_3}\right\}\geqslant 2.\]情形二 $P_1,P_2,P_3,P_4$ 的凸包为三角形．不妨设该三角形为 $\triangle P_1P_2P_3$，分别以 $P_1,P_2$ 为圆心，$\dfrac{P_1P_2}{\sqrt 3}$ 为半径作圆，类似的，分别以 $P_2,P_3$ 为圆心，$\dfrac{P_2P_3}{\sqrt 3}$ 为半径作圆，以 $P_3,P_1$ 为圆心，$\dfrac{P_3P_1}{\sqrt 3}$ 为半径作圆，容易证明这些圆能够覆盖整个三角形 $P_1P_2P_3$，这就证明了\[l\leqslant\min\{P_4P_1,P_4P_2,P_4P_3\}\leqslant \max\left\{\dfrac 1{\sqrt 3}P_1P_2,\dfrac 1{\sqrt 3}P_2P_3,\dfrac 1{\sqrt 3}P_3P_1\right\}\leqslant\dfrac L{\sqrt 3},\]于是\[\dfrac{L}l\geqslant \sqrt 3.\]情形三 $P_1,P_2,P_3,P_4$ 的凸包为四边形，则必然存在某个内角为直角或钝角，在这个三角形中，最大边与最小边之比不小于 $\sqrt 2$，于是\[\dfrac Ll\geqslant \sqrt 2.\]综上所述，$\dfrac Ll\geqslant\sqrt 2$，且等号可以取得．
对于选项 CD，可以构造对应的实例，如图．
事实上可以证明 $\dfrac Ll\geqslant\sqrt 2$，且等号可以取得．
题目
答案
解析
备注
