在四面体 $ABCD$ 中，棱 $AB,CD$ 的中点分别为 $M,N$，求证：任意一个过 $M,N$ 的平面均将四面体 $ABCD$ 分为体积相等的两个部分．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
如图，设平面 $MEN$ 是过 $M,N$ 的任一平面，且该平面交 $BC$ 于 $E$，交 $AD$ 于 $F$，交 $BD$ 的延长线于 $G$．由于 $N$ 是 $CD$ 的中点，所以 $C,D$ 到平面 $MEN$ 的距离相等，从而棱锥 $C-MENF$ 的体积与棱锥 $D-MENF$ 的体积相等．设四面体 $ABCD$ 的体积为 $V$，则\[V_{C-AMF}=\dfrac{AM\cdot AF}{AB\cdot AD}V=\dfrac 12\cdot\dfrac{AF}{AD}V,\]同理，有\[V_{D-BME}=\dfrac 12\cdot \dfrac{BE}{BC}V,\]由梅涅劳斯定理，有\[\dfrac{DG}{GB}\cdot \dfrac{BM}{MA}\cdot \dfrac{AF}{FD}=1,\dfrac{DG}{GB}\cdot \dfrac{BE}{EC}\cdot \dfrac{CN}{ND}=1,\]又\[\dfrac{BM}{MA}=\dfrac{CN}{ND}=1,\]于是\[\dfrac{AF}{FD}=\dfrac{BE}{EC},\]故 $\dfrac{AF}{AD}=\dfrac{BE}{BC}$，这样我们就得到了三棱锥 $C-AMF$ 与三棱锥 $D-BME$ 的体积相等．将体积相等的两组三棱锥对应相加，即得欲证明命题．
答案
解析
备注
