设 $x , y , z$ 是 $3$ 个不全为零的实数，求 $\dfrac{{xy + 2yz}}{{{x^2} + {y^2} + {z^2}}}$ 的最大值．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$\dfrac{{\sqrt 5 }}{2}$
【解析】
考虑到$${x^2} + {y^2} + {z^2} = {x^2} + \lambda {y^2} + \left( {1 - \lambda } \right){y^2} + {z^2} \geqslant 2\sqrt \lambda xy + 2\sqrt {1 - \lambda } yz,$$令 $\dfrac{{2\sqrt \lambda }}{{2\sqrt {1 - \lambda } }} = \dfrac{1}{2}$，解得 $\lambda = \dfrac{1}{5}$，于是$${x^2} + {y^2} + {z^2} \geqslant \dfrac{2}{{\sqrt 5 }}\left( {xy + 2yz} \right),$$原式的最大值为 $\dfrac{{\sqrt 5 }}{2}$．
答案
解析
备注
