设 $x , y , z$ 是 $3$ 个不全为零的实数，求 $\dfrac{{xy + 2yz}}{{{x^2} + {y^2} + {z^2}}}$ 的最大值．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$\dfrac{{\sqrt 5 }}{2}$
【解析】
不妨设 $\dfrac{{xy + 2yz}}{{{x^2} + {y^2} + {z^2}}} = \lambda $，则$$\lambda {x^2} - yx + \lambda \left( {{y^2} + {z^2}} \right) - 2yz = 0,$$其判别式$$\Delta = {y^2} - 4\lambda \left[ {\lambda \left( {{y^2} + {z^2}} \right) - 2yz} \right] = \left( {1 - 4{\lambda ^2}} \right){y^2} + 8\lambda yz - 4{\lambda ^2}{z^2},$$其判别式$$\Delta ' = 64{\lambda ^2} - 4\left( {1 - 4{\lambda ^2}} \right)\left( { - 4{\lambda ^2}} \right) = 16{\lambda ^2}\left( {5 - 4{\lambda ^2}} \right),$$于是取 $\lambda = \dfrac{{\sqrt 5 }}{2}$ 即得．
答案
解析
备注
