设 $x , y , z$ 是 $3$ 个不全为零的实数，求 $\dfrac{{xy + 2yz}}{{{x^2} + {y^2} + {z^2}}}$ 的最大值．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$\dfrac{{\sqrt 5 }}{2}$
【解析】
由嵌入不等式$${x^2} + {y^2} + {z^2} \geqslant 2xy\cos C + 2yz\cos A + 2zx\cos B,$$取 $B = \dfrac{{\rm{\pi }}}{2}$，$\dfrac{{\cos C}}{{\cos A}} = \dfrac{1}{2}$，即 $\cos C = \dfrac{2}{{\sqrt 5 }}$，$\cos A = \dfrac{1}{{\sqrt 5 }}$，即得$${x^2} + {y^2} + {z^2} \geqslant \dfrac{2}{{\sqrt 5 }}\left( {xy + 2yz} \right),$$于是原式的最大值为 $\dfrac{{\sqrt 5 }}{2}$．
答案
解析
备注
