函数 $f(x)$ 可以化简为 $f(x)=\dfrac {\sqrt 2}2\sin\left(\omega x-\dfrac{\pi}4\right)$．
根据题意可知 $f(\pi)\cdot f(2\pi)\geqslant 0$，且函数 $f(x)$ 的半周期 $\dfrac{\pi}{\omega}$ 不小于区间 $(\pi ,2\pi)$ 的长度 $\pi$ 从而得到 $0<\omega \leqslant 1$，进而可得在区间 $(\pi,2\pi)$ 上 $\omega x-\dfrac{\pi}4\in\left(-\dfrac{\pi}4,\dfrac{7\pi}4\right)$，讨论如下．
情形一 $f(\pi)= 0$ 或 $f(2\pi)= 0$．
此时$$\omega \pi -\dfrac{\pi}4=k_1\pi$$或$$2\omega \pi -\dfrac{\pi}4=k_2\pi,$$其中 $k_1,k_2\in\mathbb Z$．
考虑到 $\omega\in (0,1]$，于是解得 $\omega=\dfrac 18,\dfrac 14,\dfrac 58$．
情形二 $f(\pi)> 0$ 且 $f(2\pi)> 0$．
此时$$\begin{cases} 0< \omega \pi -\dfrac{\pi}4< \pi,\\ 0< 2\omega \pi -\dfrac{\pi}4< \pi,\end{cases}$$解得 $\dfrac 14<\omega< \dfrac 58$．
情形三 $f(\pi)< 0$ 且 $f(2\pi)<0$．
此时$$\begin{cases}-\dfrac{\pi}4<\omega \pi -\dfrac{\pi}4 <0 \lor \pi <\omega \pi -\dfrac{\pi}4< \dfrac{7\pi}4,\\ -\dfrac{\pi}4<2\omega \pi -\dfrac{\pi}4 <0 \lor \pi< 2\omega \pi -\dfrac{\pi}4< \dfrac{7\pi}4,\end{cases}$$解得 $0 <\omega<\dfrac 18$．
综上所述，$\omega$ 的取值范围是 $\left(0,\dfrac 18\right]\cup \left[\dfrac 14,\dfrac 58\right]$，选D．