若正数 $a,b,c$ 满足 $a+b+c=1$，求证：$\dfrac{a}{a^2+1}+\dfrac{b}{b^2+1}+\dfrac{c}{c^2+1}\leqslant\dfrac{9}{10}$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
由于$$\dfrac{a}{{{a^2} + 1}} = \dfrac{a}{{{a^2} + \dfrac{1}{9} + \dfrac{8}{9}}} \leqslant \dfrac{a}{{\dfrac{2}{3}a + \dfrac{8}{9}}} = \dfrac{3}{2} - \dfrac{6}{{3a + 4}},$$于是原不等式即$$\sum\limits_{cyc} {\dfrac{1}{{3a + 4}}} \geqslant \dfrac{3}{5},$$而根据柯西不等式$$\sum\limits_{cyc} {\dfrac{1}{{3a + 4}}} \geqslant \dfrac{9}{{\sum\limits_{cyc} {\left( {3a + 4} \right)} }} = \dfrac{3}{5}.$$
答案
解析
备注
