已知数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_1,a_2>0$，$a_{n+2}=\dfrac{2}{a_{n+1}+a_{n}}$．记$$M_n=\max\left\{a_n,\dfrac{1}{a_n},a_{n+1},\dfrac{1}{a_{n+1}}\right\},$$求证：$M_{n+3}\leqslant \dfrac 34M_n+\dfrac 14$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
只需要证明 ${a_{n + 3}} , \dfrac{1}{{{a_{n + 3}}}} , {a_{n + 4}} , \dfrac{1}{{{a_{n + 4}}}}$ 均不大于 $\dfrac{3}{4}{M_n} + \dfrac{1}{4}$．由柯西不等式$$\dfrac{1}{{a + b}} \leqslant \dfrac{1}{4} \cdot \dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{4} \cdot \dfrac{1}{b},$$于是$${a_{n + 3}} = \dfrac{2}{{{a_{n + 1}} + {a_{n + 2}}}} \leqslant \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{{{a_{n + 1}}}} + \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{{{a_{n + 2}}}} =\dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{{{a_{n + 1}}}} + \dfrac{1}{4} \cdot {a_n} + \dfrac{1}{4} \cdot {a_{n + 1}},$$类似的，\[\begin{split} \dfrac{1}{{{a_{n + 3}}}} &= \dfrac{{{a_{n + 1}} + {a_{n + 2}}}}{2} = \dfrac{1}{4}{a_{n + 1}} + \dfrac{1}{{{a_n} + {a_{n + 1}}}}\leqslant \dfrac{1}{2}{a_{n + 1}} + \dfrac{1}{4} \cdot \dfrac{1}{{{a_n}}} + \dfrac{1}{4} \cdot \dfrac{1}{{{a_{n + 1}}}},\\
{a_{n + 4}}&= \dfrac{2}{{{a_{n + 2}} + {a_{n + 3}}}} \leqslant \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{{{a_{n + 2}}}} + \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{{{a_{n + 3}}}} = \dfrac{1}{4}{a_n} + \dfrac{1}{2}{a_{n + 1}} + \dfrac{1}{4}{a_{n + 2}} \\&= \dfrac{1}{4}{a_n} + \dfrac{1}{2}{a_{n + 1}} + \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{{{a_n} + {a_{n + 1}}}}\leqslant \dfrac{1}{4}{a_n} + \dfrac{1}{2}{a_{n + 1}} + \dfrac{1}{8} \cdot \dfrac{1}{{{a_n}}} + \dfrac{1}{8} \cdot \dfrac{1}{{{a_{n + 1}}}},\\
\dfrac{1}{{{a_{n + 4}}}}&= \dfrac{{{a_{n + 2}} + {a_{n + 3}}}}{2} = \dfrac{1}{{{a_n} + {a_{n + 1}}}} + \dfrac{1}{{{a_{n + 1}} + {a_{n + 2}}}}\leqslant \dfrac{1}{4} \cdot \dfrac{1}{{{a_n}}} + \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{{{a_{n + 1}}}} + \dfrac{1}{4} \cdot \dfrac{1}{{{a_{n + 2}}}}\\&= \dfrac{1}{4} \cdot \dfrac{1}{{{a_n}}} + \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{{{a_{n + 1}}}} + \dfrac{1}{8}{a_n} + \dfrac{1}{8}{a_{n + 1}},\end{split}\]另一方面，${a_n}$ 和 $\dfrac{1}{{{a_n}}},{a_{n + 1}}$ 和 $\dfrac{1}{{{a_{n + 1}}}}$ 之中必然有一个数不大于 $1$．
综上所述，${M_{n + 3}} \leqslant \dfrac{3}{4}{M_n} + \dfrac{1}{4}$．
{a_{n + 4}}&= \dfrac{2}{{{a_{n + 2}} + {a_{n + 3}}}} \leqslant \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{{{a_{n + 2}}}} + \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{{{a_{n + 3}}}} = \dfrac{1}{4}{a_n} + \dfrac{1}{2}{a_{n + 1}} + \dfrac{1}{4}{a_{n + 2}} \\&= \dfrac{1}{4}{a_n} + \dfrac{1}{2}{a_{n + 1}} + \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{{{a_n} + {a_{n + 1}}}}\leqslant \dfrac{1}{4}{a_n} + \dfrac{1}{2}{a_{n + 1}} + \dfrac{1}{8} \cdot \dfrac{1}{{{a_n}}} + \dfrac{1}{8} \cdot \dfrac{1}{{{a_{n + 1}}}},\\
\dfrac{1}{{{a_{n + 4}}}}&= \dfrac{{{a_{n + 2}} + {a_{n + 3}}}}{2} = \dfrac{1}{{{a_n} + {a_{n + 1}}}} + \dfrac{1}{{{a_{n + 1}} + {a_{n + 2}}}}\leqslant \dfrac{1}{4} \cdot \dfrac{1}{{{a_n}}} + \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{{{a_{n + 1}}}} + \dfrac{1}{4} \cdot \dfrac{1}{{{a_{n + 2}}}}\\&= \dfrac{1}{4} \cdot \dfrac{1}{{{a_n}}} + \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{{{a_{n + 1}}}} + \dfrac{1}{8}{a_n} + \dfrac{1}{8}{a_{n + 1}},\end{split}\]另一方面，${a_n}$ 和 $\dfrac{1}{{{a_n}}},{a_{n + 1}}$ 和 $\dfrac{1}{{{a_{n + 1}}}}$ 之中必然有一个数不大于 $1$．
综上所述，${M_{n + 3}} \leqslant \dfrac{3}{4}{M_n} + \dfrac{1}{4}$．
答案
解析
备注
