已知正实数 $a , b , c , d$ 满足 $a + b + c + d = 4$，求证：$\dfrac{{{a^2}}}{b} + \dfrac{{{b^2}}}{c} + \dfrac{{{c^2}}}{d} + \dfrac{{{d^2}}}{a} \geqslant 4 + {\left( {a - b} \right)^2}$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
注意到$$\sum\limits_{cyc} {\dfrac{{{{\left( {a - b} \right)}^2}}}{b}} = \sum\limits_{cyc} {\dfrac{{{a^2}}}{b}} - \sum\limits_{cyc} a = \sum\limits_{cyc} {\dfrac{{{a^2}}}{b}} - 4,$$于是$$\sum\limits_{cyc} {\dfrac{{{a^2}}}{b}} \geqslant 4 + \sum\limits_{cyc} {\dfrac{{{{\left( {a - b} \right)}^2}}}{b}} \geqslant 4 + \dfrac{{{{\left( {\sum\limits_{cyc} {\left| {a - b} \right|} } \right)}^2}}}{{\sum\limits_{cyc} b }} \geqslant 4 + {\left( {a - b} \right)^2}.$$
答案
解析
备注
