已知 $a,b>0$，且 $\dfrac 1a+\dfrac 1b=\dfrac 23$，求 $\dfrac 1{a-1}+\dfrac 4{b-1}$ 的最小值．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$\dfrac 74$
【解析】
引入参数$$\dfrac{1}{a-1}+\dfrac{\lambda^2}1 \geqslant \dfrac{(1+\lambda)^2}{a},$$其中 $\lambda>0$．类似的，有$$\dfrac{4}{b-1}+\dfrac{(\lambda -1)^2}1 \geqslant \dfrac{(1+\lambda)^2}{b},$$其中 $\lambda>1$，两式相加可得$$\dfrac{1}{a-1}+\dfrac 4{b-1}\geqslant \dfrac 74-\dfrac{4}{3}\left(\lambda-\dfrac 54\right)^2.$$接下来通过取等条件确定参数 $\lambda$ 的值，即$$\dfrac{1}{a-1}=\lambda,\dfrac{2}{b-1}=\lambda -1,\dfrac 1a+\dfrac 1b=\dfrac 23,$$解得$$\lambda =\dfrac 54,a=\dfrac 95,b=9,$$于是所求的最小值为$$\dfrac 74-\dfrac{4}{3}\left(\lambda-\dfrac 54\right)^2=\dfrac 74.$$
答案
解析
备注
