设 $A , B , C$ 为边长为 $1$ 的正三角形三边上各一点，求 $A{B^2} + B{C^2} + C{A^2}$ 的最小值．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$\dfrac{3}{4}$
【解析】
设 $A,B,C$ 分别在 $\triangle PQR$ 的边 $PQ,QR,RP$ 上，且 $PA = a$，$QB = b$，$RC = c$，则$$AB^2 = {\left( {1 - a} \right)^2} + {b^2} - \left( {1 - a} \right)b \geqslant \dfrac{{{{\left( {1 - a} \right)}^2} + {b^2}}}{2},$$当且仅当 $1 - a = b$ 时取等号，类似地得到其他两式子相加得$$A{B^2} + B{C^2} + C{A^2} \geqslant \dfrac{{{{\left( {1 - a} \right)}^2} + {a^2} + {{\left( {1 - b} \right)}^2} + {b^2} + {{\left( {1 - c} \right)}^2} + {c^2}}}{2}\geqslant \dfrac{3}{4},$$当且仅当 $a = b = c = \dfrac{1}{2}$ 时两个“$ \geqslant $”同时取得等号，因此 $AB^2+ BC^2+ CA^2$ 的最小值为 $\dfrac{3}{4}$．
答案
解析
备注
