已知 $a , b , c$ 为实数，求证：$\left( {a + b - c} \right)\left( {b + c - a} \right)\left( {c + a - b} \right) \leqslant abc$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
设 $a = x + y$，$b = y + z$，$c = z + x$ 则原不等式等价于$$8\left( {x + y} \right)\left( {y + z} \right)\left( {z + x} \right) \geqslant xyz,$$不妨设 $x \geqslant y \geqslant z$，则 $y > 0$，否则 $y , z \leqslant 0$，与 $y + z = b > 0$ 矛盾．
情形一 当 $z \leqslant 0$ 时，不等式显然成立．
情形二 当 $z > 0$ 时，利用均值不等式，不等式显然成立．
答案
解析
备注
