已知 $x,y\in (0,1)$，求证：$x^y+y^x>1$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
考虑到 $\left(x^x\right)'=x^x(1+\ln x)$，于是 $x^x$ 的取值范围是 $\left(\left(\dfrac 1{\rm e}\right)^{\frac{1}{\rm e}},1\right)$，记为 $(m,1)$．不妨设 $0<y\leqslant x<1$，则 $t=\dfrac yx \in (0,1]$，此时$$LHS={x^x}^{\frac yx}+\left(\dfrac yx\cdot x\right)^x ={x^x}^t+t^x\cdot x^x>{x^x}^t+t\cdot x^x,$$记 $x^x=a$，函数 $f(t)=a^t+at$，其导函数$$f'(t)=a^t\cdot \ln a+a$$在 $[0,1]$ 上单调递增，于是$$f'(t)>f"(0)=\ln a+a>\ln m+m>0,$$因此 $f(t)$ 在 $[0,1]$ 上单调递增，有 $f(t)>f(0)=1$，原不等式得证．
答案
解析
备注
