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已知 $n\geqslant 2$，且 $n\in\mathbb N^*$，求证：$\dfrac{3}{2}<{\left( {1+\dfrac{1}{{2n}}} \right)^n}<2$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
  • 知识点
    >
    不等式
    >
    放缩
    >
    二项式放缩法
  • 题型
    >
    不等式
    >
    数列不等式的证明
  • 知识点
    >
    微积分初步
    >
    导数的运算
    >
    基本极限
【答案】
略
【解析】
左边不等式用二项式放缩可得$${\left( {1+\dfrac{1}{{2n}}} \right)^n}>1+{\rm{C}}_n^1 \cdot \dfrac{1}{{2n}}=\dfrac{3}{2}.$$右边不等式由于$$\dfrac{2n+1}{2n}<\dfrac{2n}{2n-1}<\dfrac{2n-1}{2n-2}<\cdots<\dfrac{n+2}{n+1},$$因此$${\left( {1+\dfrac{1}{{2n}}} \right)^n}<\dfrac{{2n+1}}{{2n}} \cdot \dfrac{{2n}}{{2n-1}} \cdots \dfrac{{n+2}}{{n+1}}=\dfrac{{2n+1}}{{n+1}}<2.$$综上所述，原不等式等得证．
答案 解析 备注
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