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已知 $n\geqslant 2$，且 $n\in\mathbb N^*$，求证：$\dfrac{3}{2}<{\left( {1+\dfrac{1}{{2n}}} \right)^n}<2$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
  • 知识点
    >
    不等式
    >
    常用不等式
    >
    均值不等式
  • 题型
    >
    不等式
    >
    数列不等式的证明
  • 知识点
    >
    微积分初步
    >
    导数的运算
    >
    基本极限
【答案】
略
【解析】
左边不等式根据均值不等式，有\[\left(1+\dfrac{1}{2n}\right)^{2n}\cdot 1\cdot 1<\left(\dfrac{2n+1+2}{2n+2}\right)^{2n+2}=\left(1+\dfrac{1}{2n+2}\right)^{2n+2},\]因此 $\left\{\left(1+\dfrac{1}{2n}\right)\right\}$ 单调递增，于是\[\left(1+\dfrac{1}{2n}\right)^n>\left(1+\dfrac 12\right)^1=\dfrac 32.\]右边不等式根据均值不等式，有\[\left(1+\dfrac{1}{2n}\right)^n\cdot \dfrac 12<\left(\dfrac{n+\dfrac 12+\dfrac 12}{n+1}\right)^{n+1}=1,\]因此\[\left(1+\dfrac{1}{2n}\right)^n<2.\]综上所述，原不等式等得证．
答案 解析 备注
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