已知数列 $\left\{ {{a_n}} \right\}$ 的首项 ${a_1}=\dfrac{3}{5}$，${a_{n+1}}=\dfrac{{3{a_n}}}{{2{a_n}+1}}$．求证：${a_1}+{a_2}+\cdots+{a_n}>\dfrac{{{n^2}}}{{n+1}}$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
由不动点法容易解得$${a_n}=\dfrac{{{3^n}}}{{{3^n}+2}}=1-\dfrac{2}{{{3^n}+2}},$$于是欲证不等式即$$\sum\limits_{k=1}^n {\dfrac{2}{{{3^k}+2}}}<\dfrac{n}{{n+1}},$$尝试分析通项证明$$\dfrac{2}{{{3^n}+2}}<\dfrac{n}{{n+1}}-\dfrac{{n-1}}{n}=\dfrac{1}{{n\left( {n+1} \right)}}$$事实上，当 $n \geqslant 2$ 时，$$\dfrac{2}{{{3^n}+2}}=\dfrac{2}{{{{\left( {1+2} \right)}^n}+2}}< \dfrac{2}{{1+2{\rm{C}}_n^1+4{\rm{C}}_n^2+2}}= \dfrac{2}{{2{n^2}+3}}
< \dfrac{2}{{{n^2}+n}}$$而 $n=1$ 时，$\dfrac{2}{5}<\dfrac{1}{{1+1}}$ 显然成立，原不等式得证．
< \dfrac{2}{{{n^2}+n}}$$而 $n=1$ 时，$\dfrac{2}{5}<\dfrac{1}{{1+1}}$ 显然成立，原不等式得证．
答案
解析
备注
