求证：$\dfrac{1}{n}+\dfrac{1}{{n+1}}+\dfrac{1}{{n+2}}+\cdots+\dfrac{1}{{8n-1}}>\dfrac{3}{2}$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
记不等式左边为 $S_n$，则原不等式即$$ 2S_n=\left( {\dfrac{1}{n}+\dfrac{1}{{8n-1}}} \right)+\cdots+\left( {\dfrac{1}{{n+k}}+\dfrac{1}{{8n-1-k}}} \right)+\cdots+\left( {\dfrac{1}{{8n-1}}+\dfrac{1}{n}} \right)>3$$而当 $0 \leqslant k \leqslant 7n-1$ 时$$\dfrac{1}{{n+k}}+\dfrac{1}{{8n-1-k}}=\dfrac{{9n-1}}{{\left( {n+k} \right)\left( {8n-1-k} \right)}}>\dfrac{{9n-1}}{{{{\left( {\dfrac{{9n-1}}{2}} \right)}^2}}}=\dfrac{4}{{9n-1}},$$于是\[2S_n>\dfrac{4}{{9n-1}} \cdot 7n
=\dfrac{{28}}{{9-\dfrac{1}{n}}}>\dfrac{{28}}{9}>3,\]因此原不等式得证．
=\dfrac{{28}}{{9-\dfrac{1}{n}}}>\dfrac{{28}}{9}>3,\]因此原不等式得证．
答案
解析
备注
