求证：$\displaystyle\prod\limits_{k=1}^{2n} {\left( {k+\dfrac{1}{k}} \right)}>{2^n}{\left( {n+1} \right)^n}$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
原不等式即$$ \prod\limits_{k=1}^{2n} {\left( {k+\dfrac{1}{k}} \right)} \left( {2n+1-k+\dfrac{1}{{2n+1-k}}} \right)>{\left[ {2\left( {n+1} \right)} \right]^{2n}},$$于是只需要证明 $1 \leqslant k \leqslant 2n$ 时，$$\left( {k+\dfrac{1}{k}} \right)\left( {2n+1-k+\dfrac{1}{{2n+1-k}}} \right)>2\left( {n+1} \right),$$事实上由于\[\left(A+\dfrac 1A\right)\left(B+\dfrac 1B\right)=AB+\dfrac AB+\dfrac BA+\dfrac 1{AB}>AB+2,\]于是\[ \left( {k+\dfrac{1}{k}} \right)\left( {2n+1-k+\dfrac{1}{{2n+1-k}}} \right)>k\left( {2n+1-k} \right)+2> 2n+2,\]于是原不等式得证．
答案
解析
备注
