题目 设 $\left\{A_n\left(a_n,b_n\right)\right\}$ 为平面上的点列，其中数列 $\left\{a_n\right\}$，$\left\{b_n\right\}$ 满足：$$a_{n+1}=2+\dfrac{3a_n}{a_n^2+b_n^2},b_{n+1}=-\dfrac{3b_n}{a_n^2+b_n^2}.$$已知 $A_1$ 的坐标为 $(1,2)$． 问题1 确定点 $A_1,A_2,A_3$ 所在圆 $C$ 的方程； 答案1 ${\left( {x - 1} \right)^2} + {y^2} = 4$ 解析1 ${A_1}\left( {1 , 2} \right)$，${A_2}\left( {\dfrac{{13}}{5} , - \dfrac{6}{5}} \right)$，${A_3}\left( {\dfrac{{121}}{{41}} , \dfrac{{18}}{{41}}} \right)$．于是线段 ${A_1}{A_2}$ 和线段 ${A_1}{A_3}$ 的垂直平分线为$$x - 2y - 1 = 0,5x - 4y - 5 = 0,$$交点为 $\left( {1 , 0} \right)$，因此圆的方程为$${\left( {x - 1} \right)^2} + {y^2} = 4.$$ 备注1 问题2 证明：点列 $\left\{A_n\left(a_n,b_n\right)\right\}$ 在定圆 $C$ 上； 答案2 略 解析2 用数学归纳法．归纳基础显然．<br/>若点 ${A_n}$ 在圆 $C$ 上，${\left( {{a_n} - 1} \right)^2} + b_n^2 = 4$，即 $a_n^2 + b_n^2 = 2{a_n} + 3$ 则\[\begin{split}{\left( {{a_{n + 1}} - 1} \right)^2} + b_{n + 1}^2& = {\left( {1 + \dfrac{{3{a_n}}}{{a_n^2 + b_n^2}}} \right)^2} + {\left( { - \dfrac{{3{b_n}}}{{a_n^2 + b_n^2}}} \right)^2}\\&= \dfrac{{25a_n^2 + 30{a_n} + 9b_n^2 + 9}}{{{{\left( {2{a_n} + 3} \right)}^2}}}\\& = \dfrac{{4\left( {4a_n^2 + 12{a_n} + 9} \right)}}{{{{\left( {2{a_n} + 3} \right)}^2}}}\\& = 4,\end{split}\]所以命题成立． 备注2 问题3 求数列 $\left\{a_n\right\}$ 的通项公式． 答案3 ${a_n} = \dfrac{{3 \cdot {9^{n - 1}} - 1}}{{{9^{n - 1}} + 1}}$ 解析3 由 $a_n^2 + b_n^2 = 2{a_n} + 3$，有$${a_{n + 1}} = 2 + \dfrac{{3{a_n}}}{{2{a_n} + 3}} = \dfrac{{7{a_n} + 6}}{{2{a_n} + 3}},$$用不动点法，设辅助数列 ${b_n} = \dfrac{{{a_n} - 3}}{{{a_n} + 1}}$，于是 $\dfrac{{{b_{n + 1}}}}{{{b_n}}} = \dfrac{1}{9}$．<br/>于是 ${a_n} = \dfrac{{3 \cdot {9^{n - 1}} - 1}}{{{9^{n - 1}} + 1}}$． 备注3