已知函数 $f_1(x)=f(x)=x(x-1)$，$f_n(x)=f(f_{n-1}(x))$，（$n \geqslant 2$），求证：
【难度】
【出处】
无
【标注】
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当 $x>2$ 时，$f_n(x)$ 没有零点；标注答案略解析
归纳基础 当 $x>2$ 时，$$f_1(x)>x>2,$$又 $f_1(x)$ 在 $(2,+\infty)$ 是单调递增的，所以$$f(f_1(x))>f(x)> x>2 .$$即$$f_2(x)>x>2.$$递推证明 假设 $f_k(x)>x>2$，则$$f(f_k(x))>f(x)>x>2,$$即$$f_{k+1}(x)>x>2.$$由数学归纳法，对任意的 $n$，当 $x>2$，$f_n(x)$ 没有零点． -
当 $1\leqslant x \leqslant 2$ 时，$f_n(x)$ 至少有 $n$ 个零点．标注答案略解析用数学归纳法．
归纳基础 当 $n=1$ 时，$f_1(x)$ 在 $[1,2)$ 至少有一个根 $x=1$；递推证明 假设 $n=k$ 时，$f_k(x)$ 至少存在 $k$ 个零点．
当 $n=k+1$ 时，首先易知 $f_k(x)$ 的零点也是 $f_{k+1}(x)$ 的零点，故 $f_{k+1}(x)$ 至少有 $k$ 个零点．
设 $k$ 个零点为 $x_1,x_2,\cdots,x_k$，不失一般性，设 $1\leqslant x_1<x_2<\cdots <x_k<2 $，则 $ f_{k }(x_k)=0$，而 $f_{k }(2)=2$，则由函数 $f_{k }(x)$ 在区间 $[1,2]$ 的连续性，在 $(x_k,2)$ 必有一点 $\bar x$ 使得 $f_{k }(\bar x)=1$，从而$$f_{k+1}(\bar x)=f(f_k(\bar x))=f(1)=0,$$所以 $f_{k+1}(x)$ 至少有 $k+1$ 个零点．
由数学归纳法，对任意的 $n$，$f_{n}(x)$ 至少有 $n$ 个零点．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
