已知数列 $\left\{ {{a_n}} \right\}$ 中，${a_1}=3$，${a_{n+1}}=a_n^2-n{a_n}+\alpha $，$n \in {{\mathbb{N}}^*}$，$\alpha \in {\mathbb{R}}$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
-
若 ${a_n} \geqslant 2n$ 对 $n \in {{\mathbb{N}}^*}$ 都成立，求 $\alpha $ 的取值范围；标注答案$[-2,+\infty)$解析由于 $a_2=6+\alpha$，因此 $\alpha\geqslant -2$，必要性得证．接下来用数学归纳法证明充分性．
当 $n=1,2$ 时，命题显然成立；假设命题当 $n=k$（$k\geqslant 2$）时成立，即 $a_k\geqslant 2k$，则当 $n=k+1$ 时，有$$a_{k+1}=a_k^2-ka_k+\alpha\geqslant (2k)^2-k\cdot 2k+\alpha\geqslant 2k^2-2\geqslant 2(k+1),$$因此充分性得证． -
当 $\alpha=- 2$ 时，求证：$\dfrac{1}{{{a_1}-2}}+\dfrac{1}{{{a_2}-2}}+\cdots+\dfrac{1}{{{a_n}-2}}<2$（$n \in {{\mathbb{N}}^*}$）．标注答案略解析将命题加强至$$\dfrac{1}{a_1-2}+\dfrac{1}{a_2-2}+\cdots +\dfrac{1}{a_n-2}\leqslant 2\left(1-\dfrac{1}{2^n}\right)=1+\dfrac 12+\cdots +\dfrac 1{2^{n-1}},$$只需要证明 $\dfrac{1}{a_n-2}\leqslant \dfrac{1}{2^{n-1}}$，即 $a_n\geqslant 2^{n-1}+2$．
接下来用数学归纳法证明．
当 $n=1,2$ 时，命题显然成立；假设命题当 $n=k$（$k\geqslant 2$）时成立，即 $a_k\geqslant 2^{k-1}+2$，则当 $n=k+1$ 时，有$$a_{k+1}=a_k^2-ka_k-2=a_k\left(a_k-k\right)-2\geqslant \left(2^{k-1}+2\right)\cdot \left(2k-k\right)-2\geqslant 2^k+2,$$因此命题得证．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
