设 $\displaystyle a_n=\sum\limits_{k=1}^n\dfrac{1}{k(n+1-k)}$，求证：当 $n\geqslant 2$ 时，$a_{n+1}<a_n$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
由于$$\dfrac{1}{k(n+1-k)}=\dfrac{1}{n+1}\left(\dfrac 1k+\dfrac{1}{n+1-k}\right),$$于是$$\displaystyle a_n=\dfrac{2}{n+1}\sum\limits_{k=1}^n\dfrac 1k,$$于是 $n\geqslant 2$ 时，有$$a_n-a_{n+1}=\sum\limits_{k=1}^n\dfrac 1k\cdot\left(\dfrac{2}{n+1}-\dfrac{2}{n+2}\right)-\dfrac{2}{(n+1)(n+2)}>0.$$
答案
解析
备注
