题目 设各项均为正数的数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n$，已知 $2a_2=a_1+a_3$，数列 $\left\{\sqrt{S_n}\right\}$ 是公差为 $d$ 的等差数列． 问题1 求数列 $\{a_n\}$ 的通项公式； 答案1 $a_n=(2n-1)d^2$ 解析1 当 $n\geqslant 2$ 时，有$$a_n=S_n-S_{n-1}=\left(\sqrt{S_n}-\sqrt{S_{n-1}}\right)\left(\sqrt{S_n}+\sqrt{S_{n-1}}\right)=d\left(2\sqrt{S_n}-d\right),$$而 $\sqrt{S_n}=\sqrt{a_1}+(n-1)d$，于是$$a_n=d\left[2\sqrt{a_1}+2(n-1)d-d\right]=d\left[2\sqrt{a_1}+(2n-3)d\right].$$于是由$$\begin{cases} \sqrt{a_1+a_2}-\sqrt{a_1}=d,\\ \sqrt{a_1+a_2+a_3}-\sqrt{a_1+a_2}=d,\\ 2a_2=a_1+a_3,\end{cases} $$解得 $a_1=d^2$，从而 $a_n=(2n-1)d$． 备注1 问题2 设 $c$ 为实数，对满足 $m+n=3k$ 且 $m\ne n$ 的任意正整数 $m,n,k$，不等式 $S_m+S_n>cS_k$ 都成立，求 $c$ 的最大值． 答案2 $\dfrac 92$ 解析2 有 $S_n=n^2d^2$，于是题中不等式即$$m^2d^2+n^2d^2>c\cdot\left(\dfrac{m+n}3\right)^2d^2,$$也即$$c<9\cdot \dfrac{m^2+n^2}{(m+n)^2}.$$下面证明 $c$ 的最大值为 $\dfrac 92$．由于当 $c=\dfrac 92$ 时显然符合题意，因此只需要证明当 $c>\dfrac 92$ 时不符合题意．<br/>事实上，取 $k=2x$，$m=3x+1$，$n=3x-1$，$x\in\mathbb N^*$，则有$$9\cdot \dfrac{m^2+n^2}{(m+n)^2}-c=9\cdot \dfrac{18x^2+2}{36x^2}-c=\dfrac 92-c+\dfrac{1}{2x^2},$$于是若 $c>\dfrac 92$，则当 $x=\left[\sqrt{\dfrac{1}{2\left(c-\dfrac 92\right)}}\right]+1$ 时，有$$\dfrac 92-c+\dfrac{1}{2x^2}<0,$$不符合题意．<br/>因此所求 $c$ 的最大值为 $\dfrac 92$． 备注2