斐波那契（Fibonacci Leonardo）是意大利著名的数学家，他提出了著名的＂兔子问题＂：如果每对兔子每月繁殖一对小兔子，而这对兔子在出生后第二个月长成大兔子，并可以再繁殖一对新的小兔子，在不考虑兔子死亡的前提下，从一对小兔子开始，到第 $n$ 个月共有多少对兔子．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$\dfrac{1}{\sqrt 5}\left[\left(\dfrac {1+\sqrt 5}{2}\right)^n-\left(\dfrac {1-\sqrt 5}{2}\right)^n\right]$
【解析】
记第 $n$ 个月有 $a_n$ 对兔子，那么我们就得到一个数列 $\{a_n\}$．因为第 $n+2$ 个月的兔子由两部分组成，一部分是大兔子，与第 $n+1$ 个月的兔子数相同；另一部分是小兔子，是由第 $n+1$ 个月的大兔子繁殖得到的，其数量正好等于第 $n$ 个月的兔子数．所以有\[a_{n+2}=a_{n+1}+a_n.\]这个数列 $\{a_n\}$：$1,1,2,3,5,8,13,\cdots$ 就称为斐波那契数列．从第三项起，它的每一项等于前两项的和．
可以用特征根法求出它的通项公式\[a_n=\dfrac{1}{\sqrt 5}\left[\left(\dfrac {1+\sqrt 5}{2}\right)^n-\left(\dfrac {1-\sqrt 5}{2}\right)^n\right].\]
可以用特征根法求出它的通项公式\[a_n=\dfrac{1}{\sqrt 5}\left[\left(\dfrac {1+\sqrt 5}{2}\right)^n-\left(\dfrac {1-\sqrt 5}{2}\right)^n\right].\]
答案
解析
备注
