求证：$\displaystyle\sum\limits_{k=1}^n {\dfrac{1}{{\left( {k+1} \right)\left( {2k+1} \right)}}}<\dfrac{5}{{12}}$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
放缩裂项$$\sum\limits_{k=1}^n {\dfrac{1}{{\left( {k+1} \right)\left( {2k+1} \right)}}}=\dfrac{1}{2}\sum\limits_{k=1}^n {\dfrac{1}{{\left( {k+1} \right)\left( {k+\dfrac{1}{2}} \right)}}}<\dfrac{1}{2}\sum\limits_{k=1}^n {\dfrac{1}{{\left( {k+\dfrac{5}{4}} \right)\left( {k+\dfrac{1}{4}} \right)}}} .$$
答案
解析
备注
