设数列 $\left\{ {{a_n}} \right\}$ 满足 ${a_{n+1}}={a_n}+ca_n^2$，$n=1 , 2 , \cdots , $ 其中 ${a_1}>0$，$c>0$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
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证明：对任意 $M>0$，存在正整数 $N$，当 $n>N$ 时，${a_n}>M$；标注答案略解析根据题意，有$$a_n=a_1+c\left(a_1^2+a_2^2+\cdots +a_n^2\right)>a_1+c(n-1)a_1^2,$$于是取 $N=\left[\dfrac{M-a_1}{ca_1^2}\right]+2$ 即可使得当 $n>N$ 时，$a_n>M$
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记 ${b_n}=\dfrac{1}{{c{a_n}+1}}$，${S_n}={b_1}+{b_2}+\cdots+{b_n}$．证明：$\left\{ {{S_n}} \right\}$ 有界，且对任意 $d>0$，存在正整数 $K$，当 $n>K$ 时，$0<\left| {{S_n}-\dfrac{1}{{c{a_1}}}} \right|<d$．标注答案略解析由$$a_{n+1}=a_n\cdot\left(1+ca_n\right)$$可得$$\dfrac{1}{ca_{n+1}}=\dfrac{1}{ca_n}-\dfrac{1}{1+ca_n},$$即$$b_n=\dfrac{1}{ca_n}-\dfrac{1}{ca_{n+1}},$$因此有$$\left|S_n-\dfrac{1}{ca_1}\right|=\dfrac{1}{ca_{n+1}},$$根据（1）中结论，对任意 $d>0$，取 $M=\dfrac{1}{cd}$，必存在正整数 $K$，当 $n>K$ 时，有 $a_{n+1}>M$，此时$$\left|S_n-\dfrac{1}{ca_1}\right|=\dfrac{1}{ca_{n+1}}<\dfrac{1}{cM}=d,$$命题得证．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
