求证：$\dfrac{{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot \cdots \cdot \left( {2n-1} \right)}}{{2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot 8 \cdot \cdots \cdot 2n}}<\dfrac{1}{{\sqrt {2n+1} }}$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
原不等式即$$ \ln \dfrac{{2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot 8 \cdot \cdots \cdot 2n}}{{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot \cdots \cdot \left( {2n-1} \right)}}>\ln \sqrt {2n+1},$$也即$$\ln 2+\sum\limits_{k=2}^n {\ln \left( {1+\dfrac{1}{{2k-1}}} \right)}>\dfrac{1}{2}\left[ {\ln 2+\ln \left( {n+\dfrac{1}{2}} \right)} \right],$$考虑到$$\ln \left( {1+\dfrac{1}{{2n-1}}} \right)>\dfrac{{\dfrac{1}{{2n-1}}}}{{1+\dfrac{1}{{2n-1}}}}=\dfrac{1}{{2n}},$$于是\[\begin{split}
\ln 2+\sum\limits_{k=2}^n {\ln \left( {1+\dfrac{1}{{2k-1}}} \right)} &> \ln 2+\dfrac{1}{2}\sum\limits_{k=2}^n {\dfrac{1}{n}}>\ln 2+\dfrac{1}{2}\int_2^{n+1} {\dfrac{1}{x}{\rm{d}}x} \\
&=\ln 2+\left. \dfrac{1}{2}{\ln x} \right|_2^{n+1}\\
&=\dfrac{1}{2}\ln 2+\dfrac{1}{2}\ln \left( {n+1} \right)\\
&>\dfrac{1}{2}\left[ {\ln 2+\ln \left( {n+\dfrac{1}{2}} \right)} \right],\end{split}\]于是原不等式得证．
\ln 2+\sum\limits_{k=2}^n {\ln \left( {1+\dfrac{1}{{2k-1}}} \right)} &> \ln 2+\dfrac{1}{2}\sum\limits_{k=2}^n {\dfrac{1}{n}}>\ln 2+\dfrac{1}{2}\int_2^{n+1} {\dfrac{1}{x}{\rm{d}}x} \\
&=\ln 2+\left. \dfrac{1}{2}{\ln x} \right|_2^{n+1}\\
&=\dfrac{1}{2}\ln 2+\dfrac{1}{2}\ln \left( {n+1} \right)\\
&>\dfrac{1}{2}\left[ {\ln 2+\ln \left( {n+\dfrac{1}{2}} \right)} \right],\end{split}\]于是原不等式得证．
答案
解析
备注
