求证：$\displaystyle\prod\limits_{k=1}^n {\left( {1+\dfrac{1}{{{9^k}}}} \right)<{\rm{2}}} $．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
考虑错项放缩$$1+\dfrac{1}{{{9^n}}}<\dfrac{{1+\dfrac{1}{{{9^{n-1}}}}}}{{1+\dfrac{1}{{{9^n}}}}},n \geqslant 1,$$于是$$\prod\limits_{k=1}^n {\left( {1+\dfrac{1}{{{9^k}}}} \right)}<\dfrac{{1+\dfrac{1}{{{9^{1-1}}}}}}{{1+\dfrac{1}{{{9^n}}}}}<2.$$考虑错项放缩$$1+\dfrac{1}{{{9^n}}}<\dfrac{{1-\dfrac{1}{{{9^n}}}}}{{1-\dfrac{1}{{{9^{n-1}}}}}},n \geqslant 1,$$于是$$\prod\limits_{k=1}^n {\left( {1+\dfrac{1}{{{9^k}}}} \right)}<\left( {1+\dfrac{1}{9}} \right) \cdot \dfrac{{1-\dfrac{1}{{{9^n}}}}}{{1-\dfrac{1}{{{9^{2-1}}}}}}<\dfrac{5}{4}.$$
答案
解析
备注
