已知函数 $f\left( x \right)=x-\ln \left( {x+a} \right)$ 的最小值为 $0$，其中 $a>0$．
【难度】
【出处】
2012年高考天津卷（理）
【标注】
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求 $a$ 的值；标注答案$1$解析略
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若对任意的 $x \in \left[ {0 ,+\infty } \right)$，有 $f\left( x \right) \leqslant k{x^2}$ 成立，求实数 $k$ 的最小值；标注答案$\dfrac{1}{2}$解析略
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证明：$\displaystyle \sum\limits_{k=1}^n {\dfrac{2}{{2k-1}}}-\ln \left( {2n+1} \right)<2$（$n \in {\mathbb N^ * }$）．标注答案略解析原不等式即$$ \sum\limits_{k=1}^n {\dfrac{2}{{2k-1}}}<2+\ln \left( {2n+1} \right),$$由积分放缩法可得$$\begin{split}\sum\limits_{k=1}^n {\dfrac{2}{{2k-1}}}&<2+\int_1^n {\dfrac{2}{{2x-1}}{\rm{d}}x}\\
&=2+\left. {\ln \left( {2x-1} \right)} \right|_1^n\\
&= 2+\ln \left( {2n-1} \right)\\
&< 2+\ln \left( {2n+1} \right),\end{split}$$事实上，注意到$$\ln \left( {2n+1} \right)=\sum\limits_{k=1}^n {\ln \dfrac{{2k+1}}{{2k-1}}} {\rm{=}}\sum\limits_{k=1}^n {\ln \left( {1+\dfrac{2}{{2k-1}}} \right)} ,$$于是\[\begin{split}
\sum\limits_{k=1}^n {\dfrac{2}{{2k-1}}}-\ln \left( {2n+1} \right)
&=\sum\limits_{k=1}^n {\left[ {\dfrac{2}{{2k-1}}-\ln \left( {1+\dfrac{2}{{2k-1}}} \right)} \right]} \\
& \leqslant 2-\ln 3+\sum\limits_{k=2}^n {\dfrac{1}{2}{{\left( {\dfrac{2}{{2k-1}}} \right)}^2}} \\
&= 2-\ln 3+\dfrac{1}{2}\sum\limits_{k=2}^n {\dfrac{1}{{{{\left( {k-\dfrac{1}{2}} \right)}^2}}}} \\
&< 2-\ln 3+\dfrac{1}{2}\sum\limits_{k=2}^n {\left( {\dfrac{1}{{k-1}}-\dfrac{1}{k}} \right)} \\
&= 2-\ln 3+\dfrac{1}{2}\left( {1-\dfrac{1}{n}} \right)\\
&< 2-\ln 3+\dfrac{1}{2}< 2
\end{split}\]因此原不等式得证．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
问题3
答案3
解析3
备注3
