证明：$\displaystyle \sum\limits_{k=1}^n {\dfrac{{4k}}{{4{k^2}-1}}}>\ln \left( {2n+1} \right)$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
注意到$$\sum\limits_{k=1}^n {\dfrac{{4k}}{{4{k^2}-1}}}=\sum\limits_{k=1}^n {\left( {\dfrac{1}{{2k-1}}+\dfrac{1}{{2k+1}}} \right)}=1+\dfrac{2}{3}+\dfrac{2}{5}+\cdots+\dfrac{2}{{2n-1}}+\dfrac{1}{{2n+1}}.$$考虑到 $y=\dfrac{1}{x}$ 为下凸函数，于是有$$\sum\limits_{k=1}^n {\dfrac{{4k}}{{4{k^2}-1}}}
= \sum\limits_{k=1}^n {\left( {\dfrac{1}{{2k-1}}+\dfrac{1}{{2k+1}}} \right)}
> \int_1^{2n+1} {\dfrac{1}{x}{\rm{d}}x}
= \ln \left( {2n+1} \right)$$
= \sum\limits_{k=1}^n {\left( {\dfrac{1}{{2k-1}}+\dfrac{1}{{2k+1}}} \right)}
> \int_1^{2n+1} {\dfrac{1}{x}{\rm{d}}x}
= \ln \left( {2n+1} \right)$$
答案
解析
备注
