证明：$\displaystyle \sum\limits_{k=1}^n {\dfrac{1}{{n+k}}}<\dfrac{{25}}{{36}}$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
记左侧和式为 $S_n$，则\[S_{n+1}-S_{n}=\dfrac{1}{2n+1}+\dfrac{1}{2n+2}-\dfrac{1}{n+1}=\dfrac{1}{(2n+1)(2n+2)},\]于是问题等价于证明\[\sum_{k=1}^{n}\dfrac{1}{(2k-1)\cdot 2k}<\dfrac{25}{36}.\]而\[\dfrac{1}{(2k-1)\cdot 2k}=\dfrac 14\cdot \dfrac{1}{\left(k-\dfrac 12\right)\cdot k}<\dfrac 14\cdot \dfrac{1}{\left(k-\dfrac 34\right)\cdot \left(k+\dfrac 14\right)},\]因此\[\begin{split}\sum_{k=1}^{n}\dfrac{1}{(2k-1)\cdot 2k}&<\dfrac 12+\dfrac{1}{12}+\dfrac 14\left(\dfrac 49-\dfrac 4{13}\right)+\dfrac 14\left(\dfrac 4{13}-\dfrac 4{17}\right)+\cdots+\dfrac 14\left(\dfrac{4}{4n-3}-\dfrac{4}{4n+1}\right)\\
&<\dfrac 12+\dfrac{1}{12}+\dfrac 19\\
&=\dfrac{25}{36}.\end{split}\]
&<\dfrac 12+\dfrac{1}{12}+\dfrac 19\\
&=\dfrac{25}{36}.\end{split}\]
答案
解析
备注
