求证：$\displaystyle \sum\limits_{k=1}^n {\dfrac{1}{{\root 4 \of {\left( {2k-1} \right)\left( {2k+1} \right)} }}}>\sqrt 2 \left( {\sqrt {n+1}-1} \right)$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
分析通项，尝试证明$$\dfrac{1}{{\root 4 \of {\left( {2n-1} \right)\left( {2n+1} \right)} }}>\sqrt 2 \left( {\sqrt {n+1}-\sqrt n } \right).$$事实上，$$\begin{split}\dfrac{1}{{\root 4 \of {\left( {2n-1} \right)\left( {2n+1} \right)} }}&=\dfrac{1}{{\root 4 \of {4{n^2}-1} }}\\
&> \dfrac{1}{{\sqrt {2n} }}\\
&=\dfrac{{\sqrt 2 }}{{2\sqrt n }}\\
&> \dfrac{{\sqrt 2 }}{{\sqrt {n+1}+\sqrt n }}\\
&= \sqrt 2 \left( {\sqrt {n+1}-\sqrt n } \right),\end{split}$$因此原不等式得证．
&> \dfrac{1}{{\sqrt {2n} }}\\
&=\dfrac{{\sqrt 2 }}{{2\sqrt n }}\\
&> \dfrac{{\sqrt 2 }}{{\sqrt {n+1}+\sqrt n }}\\
&= \sqrt 2 \left( {\sqrt {n+1}-\sqrt n } \right),\end{split}$$因此原不等式得证．
答案
解析
备注
