证明下列不等式：
【难度】
【出处】
无
【标注】
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求证：$\dfrac{{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \cdots \cdot \left( {2n-1} \right)}}{{2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot \cdots \cdot 2n}}<\dfrac{1}{{\sqrt {2n+1} }}$；标注答案略解析分析通项，尝试证明$$\dfrac{{2n-1}}{{2n}}<\dfrac{{\dfrac{1}{{\sqrt {2n+1} }}}}{{\dfrac{1}{{\sqrt {2n-1} }}}} \Leftrightarrow 2n>\sqrt {4{n^2}-1}$$于是原不等式得证．
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求证：$\dfrac{1}{2}+\dfrac{{1 \cdot 3}}{{2 \cdot 4}}+\dfrac{{1 \cdot 3 \cdot 5}}{{2 \cdot 4 \cdot 6}}+\cdots+\dfrac{{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \cdots \cdot \left( {2n-1} \right)}}{{2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot \cdots \cdot 2n}}<\sqrt {2n+1}-1$．标注答案略解析分析通项，尝试证明$$\dfrac{{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \cdots \cdot \left( {2n-1} \right)}}{{2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot \cdots \cdot 2n}}<\left( {\sqrt {2n+1}-1} \right)-\left( {\sqrt {2n-1}-1} \right)=\dfrac{2}{{\sqrt {2n+1}+\sqrt {2n-1} }}$$根据第 $(1)$ 小题，$$\dfrac{{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \cdots \cdot \left( {2n-1} \right)}}{{2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot \cdots \cdot 2n}}<\dfrac{1}{{\sqrt {2n+1} }}$$于是原不等式得证．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
