求证：$\displaystyle \dfrac{{{n^2}+n}}{2}<\sum\limits_{k=1}^n {\sqrt {k\left( {k+1} \right)} }<\dfrac{{{n^2}+2n}}{2}$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
我们先来计算一下$$\dfrac{{{n^2}+2n}}{2}-\dfrac{{{{\left( {n-1} \right)}^2}+2\left( {n-1} \right)}}{2}=\dfrac{{2n+1}}{2},$$$$\dfrac{{{n^2}+n}}{2}-\dfrac{{{{\left( {n-1} \right)}^2}+\left( {n-1} \right)}}{2}=n,$$而通项$$n<\sqrt {n\left( {n+1} \right)}<\dfrac{{2n+1}}{2},$$显然成立（均值不等式）．
因此原不等式成立．
因此原不等式成立．
答案
解析
备注
