题目 数列 $\left\{ {{a_n}} \right\}$ 满足 ${a_{n+1}}=\dfrac{{{a_n}}}{2}+\dfrac{1}{{{a_n}}}$． 问题1 若 ${a_1}=1$，求证：$\dfrac{2}{{\sqrt {{a_n}^2-2} }}$（$n \geqslant 2$）均为整数； 答案1 略 解析1 令 ${b_n}=\dfrac{2}{{\sqrt {{a_n}^2-2} }}$，则$$b_{n+1}^2=b_n^2\left( {4+2b_n^2} \right)<br/>= b_n^2\left[ {4+2b_{n-1}^2\left( {4+2b_{n-1}^2} \right)} \right]<br/>= b_n^2 \cdot {\left( {2b_{n-1}^2+2} \right)^2}$$而 ${a_2}=\dfrac{3}{2}$，于是 ${b_2}=4$，进而 ${b_n}$（$n \geqslant 3$）均为整数． 备注1 问题2 若 ${a_1}=2$，求证：$1<{a_n}<\dfrac{3}{2}+\dfrac{1}{n}$． 答案2 略 解析2 用不动点裂项$$\dfrac{{{a_{n+1}}-\sqrt 2 }}{{{a_n}-\sqrt 2 }}=\dfrac{{{a_n}-\sqrt 2 }}{{2{a_n}}}$$于是由 ${a_1}=2>\sqrt 2 $，容易知道 ${a_n}>\sqrt 2 $．$$\dfrac{{{a_{n+1}}-\sqrt 2 }}{{{a_n}-\sqrt 2 }}=\dfrac{{{a_n}-\sqrt 2 }}{{2{a_n}}}=\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{{\sqrt 2 {a_n}}}<\dfrac{1}{2}$$于是当 $n \geqslant 2$ 时$${a_n}-\sqrt 2 \leqslant {\left( {\dfrac{1}{2}} \right)^{n-2}}\left( {{a_2}-\sqrt 2 } \right)=\dfrac{{6-4\sqrt 2 }}{{{2^n}}}<\dfrac{1}{{{2^n}}}<\dfrac{1}{{1+{\rm{C}}_n^1}}=\dfrac{1}{{n+1}}$$而 $n=1$ 时，右边不等式显然成立．<br/>综上，原命题得证． 备注2