题目 已知 ${a_1}={\rm{e}}$，${a_{n+1}}={a_n}-\ln {a_n}$． 问题1 求证：$1<{a_{n+1}}<{a_n} \leqslant {\rm{e}}$； 答案1 略 解析1 记函数 $f(x)=x-\ln x$，则 $f(x)$ 在 $(1,+\infty)$ 上单调递增，于是容易归纳证明\[1<a_n\leqslant {\rm e},\]进而\[a_{n+1}-a_n=-\ln a_n<0,\]因此原命题得证． 备注1 问题2 求证：$\displaystyle \sum_{k=1}^n\dfrac{a_k-a_{k+1}}{a_k\sqrt{a_k}}<1$． 答案2 略 解析2 根据题意，有\[\begin{split}\sum_{k=1}^n\dfrac{x_k-x_{k+1}}{x_k\sqrt{x_k}}&={\rm e}^{-\frac 32}+\sum_{k=2}^n\left[\dfrac{\sqrt{x_k}+\sqrt{x_{k+1}}}{x_k\cdot \sqrt{x_k}}\cdot \left(\sqrt{x_k}-\sqrt{x_{k+1}}\right)\right]\\<br/>&<{\rm e}^{-\frac 32}+2\sum_{k=1}^n\left(\sqrt{x_k}-\sqrt{x_{k+1}}\right)\\<br/>&<{\rm e}^{-\frac 32}+2\left(\sqrt{\rm e-1}-1\right)<1.\end{split}\]事实上，这种方法得到的上界约为 $0.8448$． 备注2