题目 已知 ${a_1}={\rm{e}}$，${a_{n+1}}={a_n}-\ln {a_n}$． 问题1 求证：$1<{a_{n+1}}<{a_n} \leqslant {\rm{e}}$； 答案1 略 解析1 记函数 $f(x)=x-\ln x$，则 $f(x)$ 在 $(1,+\infty)$ 上单调递增，于是容易归纳证明\[1<a_n\leqslant {\rm e},\]进而\[a_{n+1}-a_n=-\ln a_n<0,\]因此原命题得证． 备注1 问题2 求证：$\displaystyle \sum_{k=1}^n\dfrac{a_k-a_{k+1}}{a_k\sqrt{a_k}}<1$． 答案2 略 解析2 设 $f(x)=x-\ln x$，考虑 $f(x)-\sqrt x=x-\ln x-\sqrt x$，换元后等价于函数 $g(t)=t^2-2\ln t-t$，而\[g'(t)=\dfrac{2t^2-t-2}{t},\]于是函数 $g(t)$ 在 $\left(0,\dfrac {1+\sqrt{17}}{4}\right]$ 上单调递减，在 $\left(\dfrac{1+\sqrt{17}+1}{4},\sqrt{\rm e}\right]$ 上单调递增．又\[g(1)=0,g(\sqrt 2)=2-\ln 2-\sqrt 2<0,\]于是当 $x\in (1,2)$ 时，有 $f(x)<\sqrt x$．因此\[\begin{split}\sum_{k=1}^n\dfrac{x_k-x_{k+1}}{x_k\sqrt{x_k}}&<{\rm e}^{-\frac 32}+\sum_{k=2}^{n}\dfrac{x_k-x_{k+1}}{x_kx_{k+1}}\\<br/>&={\rm e}^{-\frac 32}+\sum_{k=2}^n\left(\dfrac{1}{x_{k+1}}-\dfrac{1}{x_k}\right)\\<br/>&<{\rm e}^{-\frac 32}+1-\dfrac{1}{{\rm e}-1}<1.\end{split}\]事实上，这种方法得到的上界约为 $0.6412$． 备注2