已知数列 $\left\{a_n\right\}$ 满足 $a_1=a+2$（$a\geqslant 2$），$a_{n+1}=\sqrt{\dfrac{a_n+a}{2}}$（$n\in\mathbb N^*$）．
【难度】
【出处】
无
【标注】
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若 $a=0$，求数列 $\{a_n\}$ 的通项公式；标注答案${a_n}={2^{\frac{1}{{{2^{n-2}}}}-1}}$解析$a=0$ 时，${a_1}=2$，${a_{n+1}}=\sqrt {\dfrac{{{a_n}}}{2}} $，于是 $2{a_{n+1}}={\left( {2{a_n}} \right)^{\frac{1}{2}}}$，因此 ${a_n}={2^{\frac{1}{{{2^{n-2}}}}-1}}$．
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设 $b_n=\left|a_{n+1}-a_n\right|$，数列 $\left\{b_n\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n$，求证：$S_n<a_1$．标注答案略解析令 $f\left( x \right)=\sqrt {\dfrac{{x+a}}{2}} $．其不动点方程为$$x=\sqrt {\dfrac{{x+a}}{2}},$$即$$2{x^2}-x-a=0,$$容易判断出初值在不动点右侧，因此数列 $\left\{ {{a_n}} \right\}$ 递减．因此$${S_n}=\sum\limits_{i=1}^n {\left| {{a_{i+1}}-{a_i}} \right|}=\sum\limits_{i=1}^n {\left( {{a_i}-{a_{i+1}}} \right)}={a_1}-{a_{n+1}}<{a_1}.$$
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
