已知实数 $a , b , x , y$ 满足：$ax + by = 3$，$a{x^2} + b{y^2} = 7$，$a{x^3} + b{y^3} = 16$，$a{x^4} + b{y^4} = 42$，求 $a{x^5} + b{y^5}$ 的值．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$20$
【解析】
令 $x , y$ 为方程 ${t^2} = \alpha t + \beta $ 的两根，则\[\begin{split}{x^2} &= \alpha x + \beta,\\
a{x^3} &= \alpha \cdot a{x^2} + \beta \cdot ax,\\
a{x^4} &= \alpha \cdot a{x^3} + \beta \cdot a{x^2},\end{split}\]且\[\begin{split}{y^2} &= \alpha y + \beta,\\
b{y^3} &= \alpha \cdot b{y^2} + \beta \cdot by,\\
b{y^4} &= \alpha \cdot b{y^3} + \beta \cdot b{y^2}.\end{split}\]因此有\[\begin{split} {a{x^3} + b{y^3}} &= \alpha \cdot \left( {a{x^2} + b{y^2}} \right) + \beta \cdot \left( {ax + by} \right),\\{a{x^4} + b{y^4}}&= \alpha \cdot \left( {a{x^3} + b{y^3}} \right) + \beta \cdot \left( {a{x^2} + b{y^2}} \right),\end{split}\]即$$\begin{cases}16 = 7\alpha + 3\beta ,\\ 42 = 16\alpha + 7\beta\end{cases}$$的条件下求 $42\alpha + 16\beta $ 的值．解得 $(\alpha,\beta) = (- 14,38)$，于是$$42\alpha + 16\beta = 20.$$
a{x^3} &= \alpha \cdot a{x^2} + \beta \cdot ax,\\
a{x^4} &= \alpha \cdot a{x^3} + \beta \cdot a{x^2},\end{split}\]且\[\begin{split}{y^2} &= \alpha y + \beta,\\
b{y^3} &= \alpha \cdot b{y^2} + \beta \cdot by,\\
b{y^4} &= \alpha \cdot b{y^3} + \beta \cdot b{y^2}.\end{split}\]因此有\[\begin{split} {a{x^3} + b{y^3}} &= \alpha \cdot \left( {a{x^2} + b{y^2}} \right) + \beta \cdot \left( {ax + by} \right),\\{a{x^4} + b{y^4}}&= \alpha \cdot \left( {a{x^3} + b{y^3}} \right) + \beta \cdot \left( {a{x^2} + b{y^2}} \right),\end{split}\]即$$\begin{cases}16 = 7\alpha + 3\beta ,\\ 42 = 16\alpha + 7\beta\end{cases}$$的条件下求 $42\alpha + 16\beta $ 的值．解得 $(\alpha,\beta) = (- 14,38)$，于是$$42\alpha + 16\beta = 20.$$
答案
解析
备注
