已知实数 $a , b , x , y$ 满足：$ax + by = 3$，$a{x^2} + b{y^2} = 7$，$a{x^3} + b{y^3} = 16$，$a{x^4} + b{y^4} = 42$，求 $a{x^5} + b{y^5}$ 的值．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$20$
【解析】
令 $x , y$ 为方程 ${t^2} = \alpha t + \beta $ 的两根，则\[\begin{split}&{x^2} = \alpha x + \beta,a{x^3} = \alpha \cdot a{x^2} + \beta \cdot ax,a{x^4} = \alpha \cdot a{x^3} + \beta \cdot a{x^2},\\&{y^2} = \alpha y + \beta,b{y^3} = \alpha \cdot b{y^2} + \beta \cdot by,b{y^4} = \alpha \cdot b{y^3} + \beta \cdot b{y^2}.\end{split}\]因此 $ {a{x^3} + b{y^3}} = \alpha \cdot \left( {a{x^2} + b{y^2}} \right) + \beta \cdot \left( {ax + by} \right)$，${a{x^4} + b{y^4}}= \alpha \cdot \left( {a{x^3} + b{y^3}} \right) + \beta \cdot \left( {a{x^2} + b{y^2}} \right)$，即$$16 = 7\alpha + 3\beta ,42 = 16\alpha + 7\beta$$的条件下求 $42\alpha + 16\beta $ 的值．解得 $\alpha = - 14$，$\beta = 38$，于是 $42\alpha + 16\beta = 20$．
答案
解析
备注
