若 $\triangle ABC$ 沿三条中位线折起后能够拼接成一个三棱锥，则称这样的 $\triangle ABC$ 为和谐三角形．设 $\triangle ABC$ 的三个内角分别为 $A,B,C$，则下列条件中能够确定为和谐三角形的有 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
ACD
【解析】
根据题意，和谐三角形即锐角三角形．这是因为对棱相等（设对棱长分别为 $a,b,c$）的四面体的补形平行六面体为长方体，因此必然有\[\begin{cases} a^2=y^2+z^2,\\ b^2=z^2+x^2,\\ c^2=x^2+y^2,\end{cases}\]其中 $x,y,z$ 为长方体共顶点的三条棱长，于是该四面体的四个面为全等的锐角三角形．
对于选项 A，最大角 $C=\dfrac{25}{52}\pi<\dfrac{\pi}2$，$\triangle ABC$ 为锐角三角形．
对于选项 B，由于 $25^2-20^2=45\times 5>7^2$，于是根据余弦定理 $C$ 为钝角，$\triangle ABC$ 为钝角三角形．
对于选项 CD，于是比例均为正数，因此 $A,B,C$ 均为锐角，$\triangle ABC$ 为锐角三角形．
综上所述，能够确定为和谐三角形的有 ①③④．
对于选项 A，最大角 $C=\dfrac{25}{52}\pi<\dfrac{\pi}2$，$\triangle ABC$ 为锐角三角形．对于选项 B，由于 $25^2-20^2=45\times 5>7^2$，于是根据余弦定理 $C$ 为钝角，$\triangle ABC$ 为钝角三角形．
对于选项 CD，于是比例均为正数，因此 $A,B,C$ 均为锐角，$\triangle ABC$ 为锐角三角形．
综上所述，能够确定为和谐三角形的有 ①③④．
题目
答案
解析
备注
