在一个 $2013 \times 2013$ 的正数数表中，每行都成等差数列，每列平方后都成等差数列，求证：左上角的数和右下角的数之积等于左下角的数和右上角的数之积．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
数表为$$\begin{matrix}a&\cdots&\dfrac{a+b}2&\cdots&b\\\cdots&\cdots&\cdots&\cdots&\cdots\\\sqrt{\dfrac{a^2+c^2}2}&\cdots&\sqrt{\dfrac 12\left[\left(\dfrac{a+b}2\right)^2+\left(\dfrac{c+d}2\right)^2\right]}&\cdots&\sqrt{\dfrac{b^2+d^2}2}\\\cdots&\cdots&\cdots&\cdots&\cdots\\c&\cdots&\dfrac{c+d}2&\cdots&d\end{matrix}$$因此$$2\sqrt{\dfrac 12\left[\left(\dfrac{a+b}2\right)^2+\left(\dfrac{c+d}2\right)^2\right]}=\sqrt{\dfrac{a^2+c^2}2}+\sqrt{\dfrac{b^2+d^2}2},$$整理即得 $ad=bc$，因此原命题得证．
答案
解析
备注
