已知数列 $\{a_n\}$ 是公差为 $d$，首项 $a_1=1$ 的等差数列，问是否存在实数 $d$ 使得数列 $\left\{\dfrac{1}{a_n}\right\}$ 满足：可以从中取出无限多项，并按原来的先后次序排成一个等差数列？若存在，求出所有满足条件的 $d$ 的值；若不存在，说明理由．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
满足条件的 $d$ 只有一个，为 $0$
【解析】
如图，按 $d$ 的正负讨论．
如图，按 $d$ 的正负讨论．当 $d>0$ 时，$\left\{\dfrac{1}{a_n}\right\}$ 的子列在区域I中，于是数列 $\left\{\dfrac{1}{a_n}\right\}$ 有下界 $0$．考虑到 $\left\{\dfrac{1}{a_n}\right\}$ 的子列按原有的先后次序排列，若能组成等差数列，从区域I中自左向右取项时公差为负数，一定没有下界，矛盾；
当 $d<0$ 时，$\left\{\dfrac{1}{a_n}\right\}$ 的子列在区域II及区域III中．考虑到 $\left\{\dfrac{1}{a_n}\right\}$ 的子列按原有的先后次序排列，因此不可能同时包含区域II及区域III中的项．区域II中的项数有限，而按自右往左在区域III中取项时，公差为正数，与有上界矛盾．
当 $d=0$ 时，显然符合题意．
综上，满足条件的 $d$ 只有一个，为 $0$．
如图，按 $d$ 的正负讨论．当 $d>0$ 时，$\left\{\dfrac{1}{a_n}\right\}$ 的子列在区域I中，于是数列 $\left\{\dfrac{1}{a_n}\right\}$ 有下界 $0$．考虑到 $\left\{\dfrac{1}{a_n}\right\}$ 的子列按原有的先后次序排列，若能组成等差数列，从区域I中自左向右取项时公差为负数，一定没有下界，矛盾；
当 $d<0$ 时，$\left\{\dfrac{1}{a_n}\right\}$ 的子列在区域II及区域III中．考虑到 $\left\{\dfrac{1}{a_n}\right\}$ 的子列按原有的先后次序排列，因此不可能同时包含区域II及区域III中的项．区域II中的项数有限，而按自右往左在区域III中取项时，公差为正数，与有上界矛盾．
当 $d=0$ 时，显然符合题意．
综上，满足条件的 $d$ 只有一个，为 $0$．
答案
解析
备注
