已知等比数列 $\{a_n\}$ 的公比为 $q$．求证：
【难度】
【出处】
无
【标注】
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若 $q\in\mathbb Q^+$ 且 $q\ne \pm 1$，则数列 $\{a_n\}$ 的任意两项之和都不能表示为另外两项之和；标注答案略解析设 $q=\dfrac ab$，其中 $(a,b)$ 互质，设 $a_m+a_n=a_s+a_t$，且不妨设 $m<s<t<n$．这样就有$$\dfrac{a^m}{b^m}+\dfrac{a^n}{b^n}=\dfrac{a^s}{b^s}+\dfrac{a^t}{b^t},$$即$$b^{n-m}+a^{n-m}=a^{s-m}b^{n-s}+a^{t-m}b^{n-t},$$显然右边是 $ab$ 的倍数，而左边不是 $ab$ 的倍数，于是原命题得证．
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存在 $q\in \mathbb R^+$，使得数列 $\{a_n\}$ 的某两项之和可以示为另外两项之和．标注答案略解析考虑函数$$f(x)=x+x^6-x^4-x^5,$$由于 $f\left(\dfrac 43\right)<0$，而 $f(2)>0$，于是该函数在区间 $\left(\dfrac 43,2\right)$ 有零点，设为 $q$，取 $a_1=1$，则有$$a_2+a_7=a_5+a_6,$$于是原命题得证．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
