已知数列 $\left\{ {a_n} \right\}$ 中 ${a_1}=3$，$a_{n+1}=a_n^2-na_n-2$，求证：$\displaystyle \sum\limits_{k=1}^n {\dfrac{1}{{{a_k}}}}<1$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
先观察数列，\[\begin{split}{a_1}&=3;\\
{a_2} &= a_1^2-{a_1}-2=4;\\
{a_3} &= a_2^2-2{a_2}-2=6;\\
{a_4}&=a_3^2-3 \cdot {a_3}-2=16;\\
&\cdots \cdots \end{split}\]可以想象，当 $n$ 较大时，$$\dfrac{{a_{n+1}}}{{a_n}}=a_n-n-\dfrac{2}{{a_n}}>c,$$其中 $c$ 为常数．可以尝试证明当 $n \geqslant 3$ 时，$\dfrac{{a_{n+1}}}{{a_n}}>2$，只需要证明 $a_n \geqslant n+3$，而这利用数学归纳法容易证明．
这样就有$$\sum\limits_{k=1}^n {\dfrac{1}{{{a_k}}}}=\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{4}+\sum\limits_{k=3}^n {\dfrac{1}{{{a_k}}}<\dfrac{7}{{12}}+\dfrac{{\dfrac{1}{6}}}{{1-\dfrac{1}{2}}}=\dfrac{7}{{12}}+\dfrac{1}{3}=\dfrac{{11}}{{12}}<1} .$$
{a_2} &= a_1^2-{a_1}-2=4;\\
{a_3} &= a_2^2-2{a_2}-2=6;\\
{a_4}&=a_3^2-3 \cdot {a_3}-2=16;\\
&\cdots \cdots \end{split}\]可以想象，当 $n$ 较大时，$$\dfrac{{a_{n+1}}}{{a_n}}=a_n-n-\dfrac{2}{{a_n}}>c,$$其中 $c$ 为常数．可以尝试证明当 $n \geqslant 3$ 时，$\dfrac{{a_{n+1}}}{{a_n}}>2$，只需要证明 $a_n \geqslant n+3$，而这利用数学归纳法容易证明．
这样就有$$\sum\limits_{k=1}^n {\dfrac{1}{{{a_k}}}}=\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{4}+\sum\limits_{k=3}^n {\dfrac{1}{{{a_k}}}<\dfrac{7}{{12}}+\dfrac{{\dfrac{1}{6}}}{{1-\dfrac{1}{2}}}=\dfrac{7}{{12}}+\dfrac{1}{3}=\dfrac{{11}}{{12}}<1} .$$
答案
解析
备注
