求证：$\displaystyle \sum\limits_{k=1}^n {\dfrac{{{2^k}-1}}{{{2^{k+1}}-1}}}>\dfrac{n}{2}-\dfrac{1}{3}$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
将其转化为 $\displaystyle \sum\limits_{k=1}^n {{a_k}}<C$ 类型的，
原不等式即$$ \sum\limits_{k=1}^n {\left( {\dfrac{1}{2}-\dfrac{{{2^k}-1}}{{{2^{k+1}}-1}}} \right)}<\dfrac{1}{3}
,$$也即$$\sum\limits_{k=1}^n {\dfrac{1}{{2\left( {{2^{k+1}}-1} \right)}}}<\dfrac{1}{3}
,$$即$$\sum\limits_{k=1}^n {\dfrac{1}{{{2^{k+1}}-1}}}<\dfrac{2}{3},$$而容易证明$$\dfrac{{{2^n}-1}}{{{2^{n+1}}-1}}<\dfrac{1}{2},$$于是选定 $q=\dfrac{1}{2}$．
这样就有$$\sum\limits_{k=1}^n {\dfrac{1}{{{2^{k+1}}-1}}}<\dfrac{{\dfrac{1}{{{2^2}-1}}}}{{1-\dfrac{1}{2}}}=\dfrac{2}{3},$$原命题得证．
原不等式即$$ \sum\limits_{k=1}^n {\left( {\dfrac{1}{2}-\dfrac{{{2^k}-1}}{{{2^{k+1}}-1}}} \right)}<\dfrac{1}{3}
,$$也即$$\sum\limits_{k=1}^n {\dfrac{1}{{2\left( {{2^{k+1}}-1} \right)}}}<\dfrac{1}{3}
,$$即$$\sum\limits_{k=1}^n {\dfrac{1}{{{2^{k+1}}-1}}}<\dfrac{2}{3},$$而容易证明$$\dfrac{{{2^n}-1}}{{{2^{n+1}}-1}}<\dfrac{1}{2},$$于是选定 $q=\dfrac{1}{2}$．
这样就有$$\sum\limits_{k=1}^n {\dfrac{1}{{{2^{k+1}}-1}}}<\dfrac{{\dfrac{1}{{{2^2}-1}}}}{{1-\dfrac{1}{2}}}=\dfrac{2}{3},$$原命题得证．
答案
解析
备注
