数列 $\left\{a_n\right\}$ 满足 $a_1+2a_2+\cdots+na_n=4-\dfrac{n+2}{2^{n-1}}$，$n\in {\mathbb{N}}^*$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
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求 $a_3$ 的值；标注答案$\dfrac 14$解析当 $n=1$ 时，$a_1=1$；
当 $n\geqslant 2$ 时，根据已知可得$$na_n=\left(4-\dfrac{n+2}{2^{n-1}}\right)-\left(4-\dfrac{n+1}{2^{n-2}}\right)=\dfrac{n}{2^{n-1}},$$于是 $a_n=\dfrac{1}{2^{n-1}}$，从而 $\forall n\in{\mathbb N^*},a_n=\dfrac{1}{2^{n-1}}$，于是 $a_3=\dfrac 14$． -
求数列 $\left\{a_n\right\}$ 的前 $n$ 项和 $T_n$；标注答案$T_n=2-\dfrac{1}{2^{n-1}}$解析由 $a_n=\dfrac{1}{2^{n-1}}$（$n\in\bf N^*$）得 $T_n=2-\dfrac{1}{2^{n-1}}$．
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令 $b_1=a_1$，$b_n=\dfrac{T_{n-1}}{n}+\left(1+\dfrac 12+\dfrac 13+\cdots+\dfrac 1n\right)a_n\left(n\geqslant 2\right)$，证明：数列 $\left\{b_n\right\}$ 的前 $n$ 项和 $S_n$ 满足 $S_n<2+2\ln n$．标注答案略解析不妨记 $T_0=0$，这样就有$$\forall n\in{\mathbb N^*},b_n=\dfrac{T_{n-1}}n+\left(1+\dfrac 12+\dfrac 13+\cdots+\dfrac 1n\right)a_n.$$于是\[\begin{split}\sum_{k=1}^nb_k&=\sum_{k=1}^n\left[\dfrac{T_{k-1}}{k}+\left(1+\dfrac 12+\cdots+\dfrac 1k\right)a_k\right]\\&=\sum_{k=1}^n\left[\left(1+\dfrac 12+\cdots+\dfrac 1k\right)\cdot\left(T_k-T_{k-1}\right)+\dfrac{T_{k-1}}{k}\right]\\&=\left(1+\dfrac 12+\cdots+\dfrac 1n\right)\cdot T_n\\&<2\left(1+\dfrac 12+\cdots+\dfrac 1n\right),\end{split}\]因此只需要证明$$\dfrac 12+\dfrac 13+\cdots+\dfrac 1n<\ln n.$$\textbf{引理}\qquad $\forall x\in (0,1),x<\ln\dfrac{1}{1-x}.$
\textbf{引理的证明}\qquad 令 $f(x)=x-\ln\dfrac{1}{1-x}$，即 $f(x)=x+\ln(1-x)$，$0\leqslant x<1$，则其导函数$$f'(x)=1+\dfrac{1}{x-1}=\dfrac{x}{x-1}\leqslant 0,$$因此 $f(x)$ 在区间 $(0,1)$ 上单调递减，因此当 $x\in (0,1)$ 时，$f(x)<f(0)=0$，引理得证．
在引理中分别令 $x=\dfrac 12,\dfrac 13,\cdots,\dfrac 1n$，累加即得欲证不等式，因此命题得证．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
问题3
答案3
解析3
备注3
