解方程：$\cos 3x \cdot \tan 5x = \sin 7x$．
【难度】
【出处】
2002年复旦大学保送生招生测试
【标注】
【答案】
$\left\{x\mid x = k{{\pi }}\lor x = \dfrac{{k\rm{\pi }}}{{10}} + \dfrac{\rm{\pi }}{{20}},k\in\mathbb{Z}\right\}$
【解析】
一方面$$\sin 5x\cos 3x = \sin 7x\cos 5x , \cos 5x \ne 0.$$由积化和差公式化简得$$\sin 8x + \sin 2x = \sin 12x + \sin 2x,$$再由和差化积公式得$$2\cos 10x\sin 2x = 0,$$所以$$x = \dfrac{{k\rm{\pi }}}{2}\lor x = \dfrac{{k\rm{\pi }}}{{10}} + \dfrac{\rm{\pi }}{{20}},k\in\mathbb{Z}.$$另一方面 $\cos 5x \ne 0$，于是 $x \ne \dfrac{{k{{\pi }}}}{5} + \dfrac{{{\pi }}}{{10}}$．
综上，方程的解集为 $\left\{x\mid x = k{{\pi }}\lor x = \dfrac{{k\rm{\pi }}}{{10}} + \dfrac{\rm{\pi }}{{20}},k\in\mathbb{Z}\right\}$．
综上，方程的解集为 $\left\{x\mid x = k{{\pi }}\lor x = \dfrac{{k\rm{\pi }}}{{10}} + \dfrac{\rm{\pi }}{{20}},k\in\mathbb{Z}\right\}$．
答案
解析
备注
